什么是费马大定理（Fermat’s Principle）？
发布时间：2023-10-27 10:37:16 阅读数： 91
费马大定律又称 "最短时间原理"，它指出光从一点到达另一点时，所经过的路径时间最短。它考虑的是覆盖路径的最快时间，而不是最短的距离。这一原理显示了波光学和射线光学之间的联系。费马原理由法国数学家和物理学家皮埃尔-德-费马于 1662 年提出，适用于研究光学设备。
考虑沿曲线 I（光线的实际路径）的路径 AB，其中 t 表示光线沿曲线 I 上的路径 AB 所需的时间，而 t' 则是光线沿曲线 II 上的路径 AB 所需的时间。因此，对于沿曲线 II 的任何路径 AB，根据该原理，t 可以等于、大于或小于 t'。
光线在介质中传播一段距离 dS 所需的时间为
其中，v 为光速
在非均质介质中，介质的光学特性通常用折射率 n（x，y，z）来描述。
众所周知，折射率 "n "为
其中，c 是真空中的光速
光线沿曲线 I 经过路径 AB 所需的总时间为
根据费马原理，光线会在连接两点（如 A 和 B）的众多路径中选择传播时间最短的路径。
由于 "c "是恒定的，所以光线的路径
要么是最小值，要么是最大值，要么是 0。
如果介质是均匀的，因此 n(x, y, z) = n0，那么光路长度就是几何路径长度乘以折射率。
费马原理对平面和曲面都适用
对于平面的折射： 当光线从较稀疏的介质射向较稠密的介质时，由于介质折射率的变化，光线的速度和方向也随之改变。光线沿着从光源到目的点所需时间最短的路径前进。
将每种介质中的距离除以特定介质中的光速，就能得出两点之间的传输时间。
为了最小化时间，将时间相对于 x 的导数设为零。
此外，利用正弦的定义，即对边大于斜边，将长度与入射角和反射角联系起来。
因此，折射定律得到了证实。
在入射角和折射角的交点上，光线经过折射后会走一条最快的路径。
平面反射 当光线照射到平面反射面（如镜子）上时，会遵循反射定律，即入射角等于反射角与表面法线的夹角。费马原理在这里成立，因为光线经过的路径使到达反射点所需的时间最小。
计算每条路径的长度并用长度除以光速，就能确定光在两点之间传播所需的时间。
此外，利用正弦的定义，即对边大于斜边，将长度与入射角和反射角联系起来。那么
当 θ1 和 θ2 较小时、
因此，反射定律得到了证实。
在入射角等于反射角的这一点上，光线在反射后会走一条最快的路径。
然而，对于球面来说，光线所花的时间要么是最长的，要么是最短的。
