什么是ABCD定律（ABCD Law）？

在光学中，ABCD定律是一个基本原则，用来描述光线通过光学系统时的行为。该定律提供了一种简单而强大的方法来分析光线在复杂的光学系统中的传播，如透镜、镜子和其他光学元件。ABCD定律对于设计和优化用于各种应用的光学系统至关重要，包括成像、通信和激光技术。

ABCD定律，也被称为矩阵法或高斯光束传播，描述了球面波前（即；从点源向所有方向均匀扩展的波前）的光在光学系统中的传播，并确定其输入和输出光束之间的关系。

ABCD矩阵是一个2x2的矩阵，表示光线通过光学系统时的变换。该矩阵包含四个元素。A、B、C和D，它们对应于光线在系统的输入和输出平面的位置和斜率。

光线传输矩阵。

AD-BC=1，用于表示光学元件的影响，如透镜、镜子等。传播波的波面形状可以用ABCD定律在任何给定的平面上进行预测。

图1：光线通过光学系统的示意图

光线可以用一组两个参数来表示。光线与光轴的横向偏移或其高度 "h"，以及该点的光方向余弦，由α=cos θ给出，其中 "θ "是它与光轴的角度。图1中的输入光线可以表示为(h1,α1)，输出光线表示为(h2,α2)。

分别描述了输入和输出的波前形状。

应用ABCD定律，输入和输出射线之间的关系可以表示为。

将这个方程代入表达式，意味着。

这个方程描述了输入光束的波面在其传播过程中由于与路径上的光学元件的相互作用而发生的变化。所用的ABCD矩阵不仅可以代表单个光学元件和光束，而且还可以代表整个光学系统。如果光学系统由多个光学元件组成，其传递矩阵为M1、M2、M3、...、Mn。那么，矩阵光学的乘法法则意味着整个光学系统的传递矩阵可以用矩阵M = M₁M₂M₃...M_n来表示。

高斯光束的ABCD定律

矩阵光学和ABCD定律可以被修改来描述高斯光束的传播，并计算或分析各种光学元件对其的影响。高斯光束的ABCD定律可以表示为

其中q和q'分别代表输入和输出高斯光束的复数曲率，q = z + izo，q'= z' + iz'o。这里，zo是表征高斯光束的瑞利范围，z是沿光轴相对于光束焦点的光束位置，称为束腰。由于q的实部和虚部分别代表瑞利范围和光束位置，它也描述了整个高斯光束的几何形状。另外，复数曲率的实部和虚部（1/q）分别与高斯波前的平均曲率半径和光束振幅的第二矩有关。

这一定律可以模拟各种情况的影响，如自由空间传播、光束通过薄透镜等。

高斯光束的自由空间传播

自由空间传播的ABCD矩阵表示为 

并对高斯波束应用ABCD定律。

即，z'=z+d和z'o=zo

因此，对于自由空间的传播，光束位置通过'd'的距离从z变为z'，而雷利范围保持不变。

高斯光束通过一个薄透镜

对于焦点处的高斯光束，瑞利长度由以下公式给出

因此，初始光束可以被描述为：

(z=0为光束焦点处的光束位置=0)

焦距为f的薄透镜的ABCD矩阵由以下公式给出 

考虑到该系统的ABCD定律，取其反数，并将右手边的分子和分母除以q。

从高斯光束通过一个薄透镜的一般形式来看。

比较这两个结果，薄透镜后的曲率半径对于聚焦光束来说是R'=-f。而光束大小不受影响，这意味着薄型光学器件不会导致光束大小的变化。

同样，ABCD定律也可用于分析波在任何涉及球形波面或高斯光束（如激光）的光学系统中的传播情况。

应用

ABCD定律在光学领域的主要应用之一是在光学系统的设计中。光学设计师使用ABCD定律来预测激光束或光波将如何在光学系统中传播。通过分析系统的输入和输出光束，设计师可以优化光学系统的性能以满足特定的要求。

ABCD定律可用于设计光学系统，将光束重塑为一个特定的轮廓。这在激光束需要聚焦到一个小目标的应用中特别有用，例如在激光手术或微加工中。

它被用来分析光学元件的性能，如透镜、镜子和分光器。通过测量一个光学元件的输入和输出光束，ABCD定律可用于计算其传递函数。这一信息可用于优化组件的性能或确定其操作的任何问题。

ABCD定律被用来分析光波在光缆中的传播情况。通过了解光如何在电缆中传播，工程师可以优化光纤系统的设计，以实现高速数据传输或其他应用。

这一定律也被用于天文学中，以分析望远镜和其他光学仪器的性能。通过测量仪器的输入和输出光束，ABCD定律可用于计算其传递函数。这一信息可用于优化仪器的性能或确定其运行的任何问题。